Rođen je u Beogradu 25. avgusta 1946. Maturirao je u Petoj beogradskoj gimnaziji 1965. i iste godine upisao glumu na Fakultetu dramskih umjetnosti u Beogradu.
Zajedno sa cijelom novom generacijom glumaca na poziv Bojana Stupice postaje član Jugoslovenskog dramskog pozorišta u maju 1967.
U matičnoj kući odigrao je preko pedeset uloga od kojih su najznačajnije: Lord Graham (Lepeza ledi Vindermir), Frank (Zanat gospođe Vorn), Petrunjela (Dundo Maroje), Stanković (Pučina), Nikola (Nahod Simeon), Pera pisar (Gospođa ministarka), Simeonov-Piščik (Višnjik).
Najviše je sarađivao sa rediteljem Dejanom Mijačem, kao glumac, a kasnije i kao producent brojnih predstava.
Gostovao je i na drugim pozorišnim scenama, između ostalog i u Zvezdara teatru – pozorištu u čijem je osnivanju i sam učestvovao.
Bio je direktor Jugoslovenskog dramskog pozorišta od 2002. do kraja 2011. Kao pomoćnik direktora bio je angažovan u periodu 1986–1999. i imenovan za operativnog direktora s odgovornošću za poslove izgradnje nove zgrade Jugoslovenskog dramskog pozorišta 2000. godine.
Kao producent/direktor vodio je veliki broj nezavisnih projekata i koprodukcija.
Dobitnik je priznanja internacionalnog ranga – Zlatnog lovorovog vijenca na MESS-u u Sarajevu, Nagrade za pozorišno stvaralaštvo „Grad teatar“ festivala Grad teatar Budva (2011), nagrade festivala Dani Sarajeva (2011) i jedinstvene nagrade nacionalnog značaja, „Nikola–Peca Petrović“ Pozorišnog maratona u Somboru (2006). Godine 1989. dobija Specijalno priznanje Jugoslovenskog dramskog pozorišta. Na Sterijinom pozorju, dobio je glumačke nagrade lista Večernje novosti za ulogu Nikole u predstavi Nahod Simeon, 1981. i nagradu lista Glas omladine za ulogu Petrunjele u Dundu Maroju, 1977.
Doprinos Branka Cvejića ovoj glumačkoj revoluciji kulminirao je u televizijskoj seriji, kao i kasnijem filmskom nastavku, „Grlom u jagode“, autora Srđana Karanovića, u kojoj je ovaj stilski prevrat, najavljen brojnim ranijim ulogama u Jugoslovenskom dramskom pozorištu i Ateljeu 212, kao i na filmu i televiziji, „ozvaničen“ i ustoličen. Ova uloga učinila je Branka Cvejića jednim od vodećih dramskih umjetnika svoje generacije i ondašnje Jugoslavije.
Još veći i značajniji jeste doprinos Branka Cvejića u ulozi upravnika Jugoslovenskog dramskog pozorišta, kuće u kojoj je proveo svoj cijel o radni vijek. Još od sredine osamdesetih angažovan kao dragocjena i ključna osoba, prvi saradnik legendarnog upravnika Jovana Ćirilova, Cvejić je bio idealna spona između triju pozornica JDP-a i upravljačke strukture Kuće.
Načelo otvorenosti u izboru saradnika – svih vodećih ličnosti regiona, baš kao i neprestano uključivanje mlađih i najmlađih umjetnika, učinilo je da JDP u upravničkoj epohi Branka Cvejića gostuje na tri kontinenta, u sedamdesetak gradova svijeta, da višekratno osvoji sve moguće domaće i regionalne nagrade u kategorijama najboljih predstava, kao i pojedinačnih umjetničkih dometa koji bi teško bili mogući bez upravničkog angažmana. Predstave Šine, Hadersfild, Skup, Skakavci, Sanjari, Elijahova stolica, Rođeni u YU, Fedrina ljubav, Mletački trgovac, Metamorfoze, kao i desetine drugih, predstavljaju stalnu postavku jednog imaginarnog muzeja srpskog i evropskog teatra dvadeset prvog vijeka, antologijske vrijednosti višestruko potvrđene najvećim mogućim zvaničnim nagradama, prenosi B92.
Branko Cvejić, likom i djelom, ostavlja za sobom osoben i svetao trag, trajan doprinos ne samo srpskoj kulturi, umjetnosti i društvu, a u svom teatru, Jugoslovenskom dramskom pozorištu, ostaće zapamćen kao jedna od najznačajnijih ličnosti u bogatoj istoriji te kuće.
