Рођен је у Београду 25. августа 1946. Матурирао је у Петој београдској гимназији 1965. и исте године уписао глуму на Факултету драмских умјетности у Београду.
Заједно са цијелом новом генерацијом глумаца на позив Бојана Ступице постаје члан Југословенског драмског позоришта у мају 1967.
У матичној кући одиграо је преко педесет улога од којих су најзначајније: Лорд Грахам (Лепеза леди Виндермир), Франк (Занат госпође Ворн), Петруњела (Дундо Мароје), Станковић (Пучина), Никола (Наход Симеон), Пера писар (Госпођа министарка), Симеонов-Пишчик (Вишњик).
Највише је сарађивао са редитељем Дејаном Мијачем, као глумац, а касније и као продуцент бројних представа.
Гостовао је и на другим позоришним сценама, између осталог и у Звездара театру – позоришту у чијем је оснивању и сам учествовао.
Био је директор Југословенског драмског позоришта од 2002. до краја 2011. Као помоћник директора био је ангажован у периоду 1986–1999. и именован за оперативног директора с одговорношћу за послове изградње нове зграде Југословенског драмског позоришта 2000. године.
Као продуцент/директор водио је велики број независних пројеката и копродукција.
Добитник је признања интернационалног ранга – Златног ловоровог вијенца на МЕСС-у у Сарајеву, Награде за позоришно стваралаштво „Град театар“ фестивала Град театар Будва (2011), награде фестивала Дани Сарајева (2011) и јединствене награде националног значаја, „Никола–Пеца Петровић“ Позоришног маратона у Сомбору (2006). Године 1989. добија Специјално признање Југословенског драмског позоришта. На Стеријином позорју, добио је глумачке награде листа Вечерње новости за улогу Николе у представи Наход Симеон, 1981. и награду листа Глас омладине за улогу Петруњеле у Дунду Мароју, 1977.
Допринос Бранка Цвејића овој глумачкој револуцији кулминирао је у телевизијској серији, као и каснијем филмском наставку, „Грлом у јагоде“, аутора Срђана Карановића, у којој је овај стилски преврат, најављен бројним ранијим улогама у Југословенском драмском позоришту и Атељеу 212, као и на филму и телевизији, „озваничен“ и устоличен. Ова улога учинила је Бранка Цвејића једним од водећих драмских умјетника своје генерације и ондашње Југославије.
Још већи и значајнији јесте допринос Бранка Цвејића у улози управника Југословенског драмског позоришта, куће у којој је провео свој цијел о радни вијек. Још од средине осамдесетих ангажован као драгоцјена и кључна особа, први сарадник легендарног управника Јована Ћирилова, Цвејић је био идеална спона између трију позорница ЈДП-а и управљачке структуре Куће.
Начело отворености у избору сарадника – свих водећих личности региона, баш као и непрестано укључивање млађих и најмлађих умјетника, учинило је да ЈДП у управничкој епохи Бранка Цвејића гостује на три континента, у седамдесетак градова свијета, да вишекратно освоји све могуће домаће и регионалне награде у категоријама најбољих представа, као и појединачних умјетничких домета који би тешко били могући без управничког ангажмана. Представе Шине, Хадерсфилд, Скуп, Скакавци, Сањари, Елијахова столица, Рођени у YУ, Федрина љубав, Млетачки трговац, Метаморфозе, као и десетине других, представљају сталну поставку једног имагинарног музеја српског и европског театра двадесет првог вијека, антологијске вриједности вишеструко потврђене највећим могућим званичним наградама, преноси Б92.
Бранко Цвејић, ликом и дјелом, оставља за собом особен и светао траг, трајан допринос не само српској култури, умјетности и друштву, а у свом театру, Југословенском драмском позоришту, остаће запамћен као једна од најзначајнијих личности у богатој историји те куће.
